一般的に、下駄箱は家屋内にある中では一番最初に搬出されて、新居では一番最後に搬入・設置される家具です。
通常は、引越し荷物の搬出・搬入は玄関を通して行われ、旧居で荷物を搬出するにはまず、玄関周りのものを無くして、作業をしやすくすべきです。
また、こうすることによって、トラックの荷台の一番奥に下駄箱や玄関周りの荷物が積み込まれることになるりますので、新居では必然的に一番最後に下ろされることになります。最初に玄関に家具などが置かれると、新居への他の家具などの搬入に邪魔になりますので、全てが上手くいくのです。
こういった順番を間違えると、先にトラックから降ろさないといけない荷物類で新居で設置が先にできないものを、ブルーシートなどに一時仮置きをするなど余計な手間がかかります。手間だけならいいですが、雨が降っているような場合は仮置きする場所の確保にすら困ることになります。引越し作業員も経験を積むとこういった段取りが分かってくるようになります。ご自身の引越しの際に余裕があれば観察してみてくださいね（笑）
話が少々横道に反れましたが、下駄箱は一番搬出しやすい場所にあって、一番搬入しやすい場所に設置するので、条件的にも作業がしやすい場合がほとんどです。階段作業などが無く、下駄箱そのものがしっかりしているものであれば、余程の大きな下駄箱で無い限り、私個人としては、靴などが入ったままでも良いくらいに思います。このあたりは賛否両論、プロの引越し作業員でも意見が分かれると思いますので、ご依頼される引越し業者に確認してくださいね。