ここでいうチェストとは、整理ダンスよりも小さ目の引き出し収納としてご説明します。引越し業界の勝手な分け方かもしれませんね。
サイズにもよりますが、ほとんどの場合で吊り作業などを必要としない大きさです。ですから、余程の壊れ物でない限り、私個人としては中身を出して梱包する必要は無いように思います。割れ物などが気になる場合も、緩衝材（新聞紙を丸めたようなもので結構です）を空きスペースに詰めて、運搬時にがたがたいわない位に隙間を埋めておけば、問題ないはずです。
最終的には、移動を担当する引越し業者に確認してくださいね。