籐で作られた衣類や小物収納用の小型の家具です。私の印象では、洗面所のタオル入れにされているお宅が一番多いように感じました。
タオルの様に軽量で壊れ物でないものが中身の場合は、中身はそのまま入れっぱなしのままで引越し日当日を迎えられて大丈夫です。
ただ、トラック積み込み時に横向けにされる可能性を考慮して、割れ物が壊れたり、小物が隙間から飛び出したりすることに対する対策は必要です。緩衝材や丸めた新聞紙などを隙間につめるなどすればよいでしょう。
また、引き出しが開かないように、紐で固定されると良いと思います。家具の梱包をしっかりとする引越し業者に依頼される場合は、梱包資材で家具全体をくるまれるので引き出しが開くことはありません。ご自身が依頼された引越し業者さんの作業がどういうタイプなのかは担当営業マンに確認されるとよいでしょう。