辞書的に説明すると、「輸送トラックの全体的な状況を把握し、必要に応じてその運用の割り振りをする業務。また、その業務に当たる人。」という感じになります。
運送会社の輸送トラックに関わらずタクシー会社などで「全体的な状況を把握し必要に応じてその運用の割り振りをする人」も配車係というと思います。
引越し会社の場合、その会社の規模や経営者の経営方針によって、営業所（支店）の責任者やそれに準ずる立場の人がその役割を兼任する場合や、配車係専門の担当者がいる場合など様々です。
訪問見積もり中の営業マンが客宅から会社に電話を掛けて、値引きの相談や空車状況などを確認する場合の相談相手はこの配車係です。また、引越しの各現場の作業進行状況を把握して、遅れている現場やトラブルの起きた現場に応援チームを派遣したりするなどして全体を無事に治める働きも担います。
営業マンや作業員のように目先の利益を生まないポジションでなので、配車係を専門に行うスタッフを配置せずに事業者の責任者がその業務を行う場合が多く、その立場の人は非常に激務になります。合わせてセンスを買われて配車係を務めるため、出世コースにのっている自負がある人が多いため、自分から処理能力の限界を上に申し出ることをしません。
その結果、無理や疲れが支持ミス（配車ミスなど）につながり、それを原因とする失敗やクレームが多いように感じます。
破損やトラブルが起きた場合、その対応は支店の責任者か配車係が行いますので、そのポジションのスタッフの余裕の有無が、皆さんに対する対応の違いに非常に影響を与えることはお分かりいただけると思います。
業者選びの際に意識されるとよいと思います。